Rekenen en inzicht

‘Je gaat het pas zien als je het doorhebt’ geldt zeker ook voor rekenen. Dat noemen we dan ‘inzicht’ hebben. Bij sommige kinderen gaat dat vanzelf, die hoef je iets eigenlijk nauwelijks uit te leggen en dan weten ze al wat de bedoeling is. Bij andere kinderen kost het werken aan inzicht in rekenen wat meer tijd. Maar dat betekent niet dat rekenen niet ‘hun ding’ is of dat typische ‘inzicht’ opgaven (zoals redactiesommen) niet aan hun besteed zijn.

Bij het rekenen kun je onderscheid maken in de technische vaardigheid (welke stappen moet je zetten om bij het juiste antwoord te komen) en conceptueel begrip (waarom moet je die stappen zetten om bij het juiste antwoord te komen). In het drieslagmodel is de technische vaardigheid te vinden onderin de driehoek en het conceptueel begrip is nodig voor betekenisverlening en reflectie.

Idealiter zijn de technische vaardigheid van het kind in het uitvoeren van de rekenhandelingen en het conceptuele begrip in balans. Neem bijvoorbeeld een kind in groep 4 dat de tafels aan het leren is. In het rekenonderwijs wordt eerst aandacht besteed aan begripsvorming. Er wordt herhaald opgeteld, voorwerpen worden in groepjes gesorteerd, het x teken wordt uitgelegd. Daarna worden keersommen uitgerekend en worden de tafels gememoriseerd. Als het kind daarna een in de citotoets een opgave tegenkomt waarin het een vermenigvuldiging uit moet rekenen, dan zou dat moeten lukken, toch?

Toch kom ik kinderen tegen zoals Daan (niet zijn echte naam). Hij wist feilloos dat 4×5=20. Maar wat dat precies betekende? Hij had geen idee. Samen gingen we torens bouwen. Vier torens met in elke toren 5 blokjes. Na een poosje lukte dat. In het begin bouwde hij een toren van 4 en een toren van 5, maar langzamerhand, met veel geduld, wist hij de juiste torentjes te bouwen bij de keersommen. Daarna kwam de vraag: hoeveel blokjes heb je gebruikt? Ook dat was geen eenvoudige vraag voor hem. Langzamerhand koppelden we de torens aan de keersom en gaven zo de som betekenis.

Hoe het kwam dat Daan de hele eerste fase van begripsvorming in de klassikale les niet meegekregen heeft? Ik weet het niet precies. Hij heeft een ervaren juf die daar veel aandacht aan besteed heeft, met veel voorbeelden. Op zijn school wordt effectieve directe instructie gegeven. De randvoorwaarden lijken qua onderwijs echt wel in orde. Heeft hij zijn oudere broer de tafels zien leren, daar wel het een en ander van meegekregen en toen bij de instructie gedacht: keersommen, die kan ik al? Dat kan zeker. Heeft hij, door zijn thuissituatie, niet altijd zijn aandacht bij de les? Ook dat is heel goed mogelijk. Speelt er een taalbarrière? Ook dat is een mogelijke factor.

Stap voor stap zijn we de handelingsniveau’s langsgeweest. We hebben gewerkt met concreet materiaal. We hebben contexten bedacht bij sommen en die uitgetekend. Stap voor stap gingen we van een context via materiaal, concreet en abstract tekenen en via springen op de getallenlijn naar de kale som. En andersom: vanuit de kale som naar een context. Dat laatste gaat nu steeds beter. Waar hij eerst bij iedere redactiesom de getallen uit de opgave bij elkaar optelde, zonder te letten op de context, weet hij nu steeds vaker wat hij moet doen om een som goed aan te pakken. Hij vraagt steeds vaker: mag ik dat even tekenen? Van context direct naar formele vermenigvuldiging lukt nog niet, maar vaak weet hij de herhaalde optelling er wel uit te halen en komt hij op die manier tot een correct antwoord. En als ik dan specifiek vraag: kun je daar ook een keersom voor gebruiken, dan lukt die stap vaak ook.

Het werken met Daan is voor mij heel leerzaam geweest. Een kind dat ogenschijnlijk behoorlijk kan rekenen en op veel sommen een correct antwoord weet, kan toch een flink probleem hebben als het gaat om het toepassen van die kennis. Door veel met concreet materiaal bezig te zijn en veel te visualiseren m.b.v. tekeningen kun je de kennis over de wereld die het kind heeft verbinden met de formele rekentaal. Daar heeft hij de rest van zijn (school)carrière profijt van.